В 1988 году окончил лечебный факультет Ростовского ордена Дружбы народов медицинского института (РОДНМИ). По окончании института в 1988 году был оставлен в аспирантуре. По основной должности с 1991 по 2000 гг. - ассистент, с 2000 по 2006 гг. доцент, а с 2006 года по август 2011 года – заведующий лабораторией медицинской генетики в Ростовском государственном медицинском университете (РостГМУ). По совместительству с 2006 года – доцент, а затем профессор курса генетики и лабораторной генетики Факультета усовершенствования врачей РостГМУ.
После переезда в г.Москву в 2011 году – по основной должности заведующий кафедрой в «Российском национальном исследовательском медицинском университете им. Н.И.Пирогова» и заведующий лабораторией мутагенеза (по совместительству) в ФГБУ “Медико-генетический научный центр РАМН”. С 2012 года по 2015 год - заместитель директора по научной работе ФГБНУ «МГНЦ». С 20 мая 2015 года - временно исполняющего обязанности директора, а затем - директор ФГБНУ “Медико-генетический научный центр” (с 2019 года - ФГБНУ “Медико-генетический научный центр имени академика Н.П.Бочкова” ).
Научные интересы – клиника, диагностика и лечение наследственных болезней, генетика онкогематологических заболеваний, роль вирусов в канцерогенезе, неонатальный скрининг, организация медико-генетической службы. Автор более 300 печатных работ, 17 методических пособий и рекомендаций.
С.И.Куцев член президиума Научного совета Минздрава России; Научно-практического совета Минздрава России; рабочей группы по орфанным заболеваниям комитета по здравоохранению Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации; Совета РАН по генно-инженерной деятельности; Научно-делового Совета Минобрнауки России; комиссии по вопросам организации мероприятий, проводимых в рамках десятилетия детства, Совета при Президенте Российской Федерации по реализации государственной политики в сфере защиты семьи и детей; Президиума Правления Российского общества медицинских генетиков; Президиума Центрального Совета Вавиловского общества генетиков и селекционеров; член Правления и координатор в Российской Федерации международного консорциума «Orphanet»; международного научного консорциума European LeukemiaNet; Ученого совета НМИЦ “Здоровье детей” Минздрава России; редколлегий научных журналов “Медицинская генетика”, “ Вестник Российской академии медицинских наук ”, “ Педиатрия. Журнал имени Г.Г.Сперанского”, “Вопросы детской диетологии”. С.И.Куцев – заместитель председателя Диссертационного совета Д001.016.01 на базе ФГБНУ «МГНЦ», член Диссертационных советов Д 208.072.04 и Д208.072.016 на базе ФГБОУ ВО РНИМУ им. Н.И. Пирогова Минздрава России,
С.И.Куцев – автор и соавтор более 300 печатных работ, Индекс Хирша – 11.
Награжден грамотой Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации (2005), дипломом и медалью имени С.Н.Давиденкова Российского общества медицинских генетиков (2010), золотой медалью имени С.Н.Давиденкова Российской академии наук (2020).